Tài nguyên dạy học

Hỗ trợ trực tuyến

Điều tra ý kiến

Bạn thấy trang này như thế nào?
Đẹp
Đơn điệu
Bình thường
Ý kiến khác

Thống kê

  • truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Ảnh ngẫu nhiên

    P_20170527_074713.jpg DSC05057.jpg DSC05035.jpg

    Thành viên trực tuyến

    0 khách và 0 thành viên

    Sắp xếp dữ liệu

    Phạm Minh Phúc - Trường THCS Thụy An, Ba Vì, Hà Nội

    Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
    Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
    Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

    CAC DANG BAI TAP TOAN 7-NANG CAO

    Nhấn vào đây để tải về
    Hiển thị toàn màn hình
    Báo tài liệu có sai sót
    Nhắn tin cho tác giả
    (Tài liệu chưa được thẩm định)
    Nguồn:
    Người gửi: Nguyễn Văn Lập (trang riêng)
    Ngày gửi: 20h:24' 17-06-2013
    Dung lượng: 552.5 KB
    Số lượt tải: 766
    Số lượt thích: 0 người
    DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.
    Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
    Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:
    B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950
    Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
    Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
    Cách 2:


    B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
    
    +
    
    
    
    B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
    
    
    2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100
    
     2B = 100.99  B = 50.99 = 4950
    Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
    Lời giải:
    Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
    Cách 2: Ta thấy:
    1
    =
    2.1
    -
    1
    
    3
    =
    2.2
    -
    1
    
    5
    =
    2.3
    -
    1
    
    ...
    
    
    
    
    
    999
    =
    2.500
    -
    1
    
     Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
    Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

    C = 1 + 3 + ... + 997 + 999
    
    +
    
    
    
    C = 999 + 997 + ... + 3 + 1
    
    
    2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
    
     2C = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000
    Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
    Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
    Ta thấy:
    10
    =
    2.4
    +
    2
    
    12
    =
    2.5
    +
    2
    
    14
    =
    2.6
    +
    2
    
    ...
    
    
    
    
    
    998
    =
    2.498
    +
    2
    
     Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy:  hay
    số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
    Khi đó ta có:

    D = 10 + 12 + ... + 996 + 998
    
    +
    
    
    
    D = 998 + 996 + ... + 12 + 10
    
    
    2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008
    
     2D = 1008.495  D = 504.495 = 249480
    Thực chất 
    Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,
    Khi đó số các số hạng của dãy (*) là:  (1)
    Tổng các số hạng của dãy (*) là  (2)
    Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d
    Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n 
    Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10
    Lời giải
    Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có:
    100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 
    E = 4954,05
    (Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là )
    Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
    Lời giải
    Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
    S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = . Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004.
    Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010
    Nhận xét:
    Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.

    DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
    Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
    Lời giải
    Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
    Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 - 0.1.2
    a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 - 1.2.3
    a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
    …………………..
    an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
    an = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
    Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
    3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
    3 = n(n + 1)(n + 2)  A = 
    Cách 2: Ta có
    3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) -
    - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)  A = 
    * Tổng quát hoá ta có:
    k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
    Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
    k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
    Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)
    Lời giải
    Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
    4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4
    = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) -
    [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
     B = 
    Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
    Lời giải
    Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
    2.5 = 2.(2 + 3)
    3.6 = 3.(3 + 3)
    4.7 = 4.(4 + 3)
    …….
    n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
    Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
    = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
    = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
    3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =
    = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =
    = n(n + 1)(n + 2) +C= =
    Bài 4. Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2
    Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
    Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … +
    + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + 2 + 3 + … + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
    A =  và 1 + 2 + 3 + … + n =   12 + 22 + 32 + … + n2 = =- = 
    Bài 5. Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3
    Lời giải
    Tương tự bài toán trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E: Ta có:
    B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)
    + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) =
    = (23 + 33 + … + n3) - (2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) -
    - (1 + 2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - 
    (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + Mà ta đã biết B = 
     E = 13 + 23 + 33 + … + n3 =
    = +  = 
    Cách 2: Ta có:
    A1 = 13 = 12
    A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2
    A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2
    Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + 2 + 3 + … + k)2 (1) Ta chứng minh:
    Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + … + (k + 1)]2 (2)
    Thật vậy, ta đã biết: 1 + 2 + 3 + … + k =  
    Ak = []2 (1`) Cộng vào hai vế của (1`) với (k + 1)3 ta có:
    Ak + (k + 1)3 = []2 + (k + 1)3  Ak+1 = []2 + (k + 1)3
    =  Vậy tổng trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn có:
    Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + … + (k + 1)]2 =
    = . Vậy khi đó ta có:
    E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2 = 
    Lời bình: - Với bài tập trên ta áp dụng kiến thức về quy nạp Toán học.
    - Bài tập trên chính là dạng bài tập về tổng các số hạng của một cấp số nhân (lớp 11) nhưng chúng ta có thể giải quyết được trong phạm vi ở cấp THCS.
    Bài 6. (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1)
    Biết rằng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng
    S = 22 + 42 + 62 + … + 202
    Lời giải
    Ta có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 =
    = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540.
    Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:
    P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 =  (theo kết quả ở trên)
    Khi đó S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 được tính tương tự như bài trên, ta có:
    S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) =
    =  = 
    Còn: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 = . Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 như sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc này S = 8P, Vậy ta có: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 = 
    Áp dụng các kết quả trên, ta có bài tập sau:
    Bài 7. a) Tính A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2
    b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3
    Lời giải
    a)Theo kết quả bài trên, ta có: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 =
    =
    Mà ta thấy:
    12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - (23 + 43 + 63 +…+ (2n)2( =
    =  - = 
    b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 -
    - (23 + 43 + 63 +…+ (2n)3( . Áp dụng kết quả bài tập trên ta có:
    13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2.
    Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 =
    = 2n4 - n2
    Ngày dạy: 20/9/2009

    MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG KHÁC
    Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263
    Lời giải
    Cách 1:
    Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 (1)
     2S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2)
    Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
    2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263)
    = 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1
    Cách 2:
    Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + … + 262) (1)
    = 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264  S1 = 264 - 1
    Bài 2. Tính giá trị c
     
    Gửi ý kiến